Palaversa je rođena je u Stanišiću, a tijekom cijele karijere nastupala je za samo splitsku Nadu, ostigavši 2037 pogodaka, čime je najbolji strijelac tog kluba svih vremena.
Najveći uspjeh sa svojom Nadom, koja se tada zvala Dalma, postigla je 1984., godine kada su splitske rukometašice osvojile Kup pobjednika kupova.
Za reprezentaciju Jugoslavije Dragica je nastupala od 1970. do 1979., godine odigravši 145 utakmica na kojima je postigla 647 golova, nastupila je i na četiri svjetska rukometna prvenstva, te bila kapetan ekipe. Nakon prestanka aktivnog igranja bila je višegodišnja trenerica u svom matičnom klubu Dalmi, s kojim je u sezoni 2003./04., osvojila drugo mjesto u prvenstvu Hrvatske.
Za vrlo uspješnu višegodišnju sportsku karijeru, dobila je veliki broj priznanja, a 1977. godine dobila je Nagradu Grada Splita. Više puta proglašavana je najboljom rukometašicom u Jugoslaviji, a nekoliko sezona bila je najbolji strijelac.
