Svi se u svakodnevnom životu oslanjamo na intuiciju, onaj tihi unutarnji glas ili "osjećaj u trbuhu" koji nas vodi pri donošenju odluka. No, što se događa kada taj osjećaj primijenimo na svijet stroge logike i brojeva, poput matematike?

Iako se neke stvari čine nemogućima, ponekad se ipak dogode. 

Naime, naša ljudska intuicija, oblikovana iskustvom i prečacima u razmišljanju, često nas može odvesti na krivi put kada se suoči s matematičkim paradoksima.

Sljedeći primjeri pokazat će vam koliko se lako možemo zavarati i zašto je važno razlikovati ljudski osjećaj od matematičke preciznosti.

Internetska stranica eMatematika, poznata po zanimljivim matematičkim zagonetkama, objavila je dva izazovna pitanja koja će vas natjerati da na trenutak zastanete i pažljivo promislite o svojim odgovorima.

Koje su šanse da dobijete drugu djevojčicu?

Prvo pitanje glasi: "Zamislite da sretnete roditelja koji vam kaže: 'Imam dvoje djece, od kojih je barem jedno djevojčica.' Zatim vas upita: 'Koja je vjerojatnost da je i drugo dijete djevojčica?'

Većina ljudi, bez puno razmišljanja, odgovorit će - 50 posto. Logika se čini jednostavnom: ako je jedno dijete djevojčica, drugo može biti ili dječak ili djevojčica, dakle šanse su pola-pola. Međutim, taj intuitivni odgovor je pogrešan."

Da bismo razumjeli zašto, moramo razmotriti sve moguće kombinacije spola za dvoje djece, uz pretpostavku da su rođenja dječaka i djevojčice jednako vjerojatna:

• Dječak, pa dječak (DD)
• Djevojčica, pa dječak (CD)
• Dječak, pa djevojčica (DC)
• Djevojčica, pa djevojčica (CC)

Informacija da je "barem jedno dijete djevojčica" odmah eliminira prvu mogućnost (DD). Time nam preostaju tri jednako vjerojatna scenarija: CD, DC i CC. Od ta tri moguća ishoda, samo je jedan onaj u kojem su oba djeteta djevojčice (CC).

Stoga, točan odgovor nije 1/2 (50 posto), već 1/3, odnosno otprilike 33,3 posto. Naša intuicija nas vara jer ne uzima u obzir cjelokupni prostor mogućih događaja. Zanimljivo, da je roditelj rekao: "Moje starije dijete je djevojčica", vjerojatnost da je i drugo djevojčica tada bi zaista bila 50 posto, jer bismo promatrali samo ishode DC i CC.

Suptilna promjena u formulaciji pitanja drastično mijenja matematički ishod.

Foto: Shutterstock

Koliko ljudi treba biti u grupi da bi postojalo više od 50 posto šanse da dvoje ljudi imaju isti rođendan?

Jedan od zanimljivih kontraintuitivnih problema u vjerojatnosti poznat je kao problem rođendana. Glasi ovako: "Kolika je vjerojatnost da u grupi od 23 osobe dvoje imaju isti rođendan?"

Internetska stranica eMatematika ispitala je nekoliko ljudi kako bi došla do konačnog odgovora. Kako tvrde, varirali su od 0,1 pa do 15 posto.

Međutim, točan odgovor je: u grupi od 23 osobe postoji 50,73 posto šanse da dvoje imaju isti rođendan. Kako je moguće da tako mala grupa ljudi može imati više od 50 posto šanse za podudaranje rođendana, kad imamo 365 dana u godini? Zašto je naša intuicija u ovom slučaju tako pogrešna?

Za početak, obrnimo pitanje i pokušajmo ga riješiti na lakši način. Izravno računanje vjerojatnosti korištenjem kombinatorike može biti složeno, jer postoji mnogo mogućnosti za podudaranje dva rođendana u grupi. Međutim, lakše je izračunati vjerojatnost da svi imaju različite rođendane. Zašto? Zato što, ako znamo vjerojatnost da svi imaju različite rođendane, jednostavno možemo oduzeti tu vjerojatnost od 1 (100 posto), jer postoji samo dvije opcije: ili svi imaju različite rođendane, ili barem dvoje dijele isti.

Foto: Shutterstock

Da bismo izračunali vjerojatnost da svi rođendani budu različiti, počinjemo s prvim parom ljudi. Za osobu (1) postoji 365 mogućnosti za rođendan. Za osobu (2) postoji 364 mogućnosti (jer je jedan datum već zauzet). Vjerojatnost da ove dvije osobe imaju različite rođendane je 364/365, što je otprilike 99,7 posto.

Zatim, za treću osobu, postoji 363 mogućnosti za rođendan (jer su već zauzeti datumi za prve dvije osobe). Za četvrtu osobu, postoji 362 mogućnosti, i tako dalje. Kad dođemo do 23. osobe, za nju će biti 343 mogućnosti za rođendan (jer je 22 datuma već zauzeto).

Pomnožimo sve te vjerojatnosti zajedno i dobijemo da je vjerojatnost da nitko ne dijeli rođendan u grupi od 23 osobe 0,4927, odnosno 49,27 posto. Kada to oduzmemo od 100 posto, dobivamo da je vjerojatnost da imamo barem jedno podudaranje rođendana u grupi od 23 ljudi 50,73 posto.