Veža je rođen je 7. veljače 1916. u Bristu. Godine 1927, u svojoj jedanaestoj godini, izrezao je iz maslinove žile svoju prvu skulpturu, a 1928. primljen je u Državnu obrtnu školu u Zagrebu, koju je 1932. završio.
Godinu dana kasnije upisao se na Umjetničku akademiju u Zagrebu (današnju Akademiju likovnih umjetnosti) gdje je studirao slikarstvo. Od početka studija vezao se za Vladimira Becića, tada još jedinoga živog "minhenovca" iz trojke Račić, Kraljević, Becić.
Veža je diplomirao 1937. u slikarskoj klasi profesora Vladimira Becića, a već je 1938. imao prvu samostalnu izložbu u renomiranoj zagrebačkoj galeriji.
Potkraj 1938. Veža je uvršten u povijesnu izložbu hrvatske likovne umjetnosti - Pola vijeka hrvatske umjetnosti 1878-1938.
Od 1950. živi i stvara u Parizu, gdje je stvorio svoj Pariški ciklus ili Ciklus pariških motiva.
Godine 1981. otišao je u mirovinu kao redovni profesor Akademije likovnih umjetnosti u Zagrebu te nastavio dalje stvarati.
Veža je dobitnik brojnih nagrada, priznanja i odličja.
Posljednji ispraćaj hrvatskoga slikara Mladena Veže bit će u srijedu, 24. veljače, u 14.10 sati na zagrebačkom groblju Mirogoju.
